摘要：深度学习：多分类交叉熵损失函数
本文将讨论深度学习中的多分类交叉熵损失函数。此函数是深度学习中非常重要的“火车头”函数，常用于处理多分类问题。在本文中，我们将详细介绍
深度学习：多分类交叉熵损失函数
本文将讨论深度学习中的多分类交叉熵损失函数。此函数是深度学习中非常重要的“火车头”函数，常用于处理多分类问题。在本文中，我们将详细介绍多分类交叉熵损失函数的概念和基本公式。
概念介绍
多分类交叉熵损失函数是一种常用的分类损失函数。一般用于多类别分类，将数据集分为多个类别，每个样本只能属于其中一个类别。通常情况下，我们将类别的标签表示为One-hot编码的形式。
考虑一组二元分类问题，即类别数为2。这里的One-hot编码非常简单，分类的结果只有两种情况。例如，我们有两个分类为正/负的标签y1和y2，则它们的One-hot编码分别为y1=[1,0]和y2=[0,1]。当然，对于更多类别的分类问题，One-hot编码也可以有更多的维度。
为了简化问题，我们通常假设每个类的预测概率服从多项式分布，因此我们可以利用交叉熵来度量预测概率与真实标签之间的差异。对于每一个输入$x_i$，我们预测其属于每个类别的概率分别为$p_1$，$p_2$，...，$p_k$，我们的目标是将它正确地分类到对应的类别中去。对于真实标签y，我们期望预测分类后的结果与y相同。因此，我们需要最小化预测值（即$p_1$，$p_2$，...，$p_k$）与真实标签y之间的交叉熵。
基本公式
假设有N个样本数据，$n$表示每个样本的特征维度，$k$表示分类数目，则有交叉熵损失函数的基本公式：
$$L=\\frac{1}{N}\\sum_{i=1}^{N}\\sum_{j=1}^{k}-y_{i,j}\\cdotlog(p_{i,j})$$其中，$y$表示真实类别的One-hot编码，$p$表示预测概率的向量。如果样本属于j类，则$y_j$为1，其他为0，即：
$$y_i=\\left[\\begin{matrix} 0&0&\\cdots&1&\\cdots&0\\\\ \\vdots&&&\\vdots&&\\vdots\\\\ 0&0&\\cdots&0&\\cdots&0 \\end{matrix}\\right]$$而$p_i$表示模型对样本i属于每个类别的预测概率向量，即：
$$p_i=\\left[\\begin{matrix} p_{i,1}&p_{i,2}&\\cdots&p_{i,j}&\\cdots&p_{i,k}\\\\ \\end{matrix}\\right]$$将y带入L中，可得：
$$L=-\\frac{1}{N}\\sum_{i=1}^{N}\\sum_{j=1}^{k}y_{i,j}\\cdotlog(p_{i,j})$$可以发现，当猜测与真实标签匹配时，交叉熵的值为0。随着错误预测的增加，交叉熵也会随之增加。
总结
多分类交叉熵损失函数是深度学习中常用的分类损失函数之一，用于处理有多个类别标签的分类问题。其基本思想是通过度量预测分布与真实分布之间的差异，来最小化预测误差的影响。基本公式包括真实类别的One-hot编码和预测概率向量。当预测与真实标签一致时，交叉熵的值为0。随着预测增加，交叉熵增加。
最后，需要注意的是，不同的损失函数在不同的任务中可能会获得更好的性能。选择正确的损失函数对模型的训练和评估有着重要的影响。对于多类别分类任务，多分类交叉熵损失函数通常是一个不错的选择。
