角的度量课件公开课（角的度量与计算）

摘要：角的度量与计算
在平面几何中，角是一个基本的概念。通过角度的度量和计算，我们可以解决很多实际问题，如计算角的大小、角的比较和角的构造等。本篇课件将介绍角的度量方法及其

角的度量与计算

在平面几何中，角是一个基本的概念。通过角度的度量和计算，我们可以解决很多实际问题，如计算角的大小、角的比较和角的构造等。本篇课件将介绍角的度量方法及其相关计算知识，帮助学生更好地理解和掌握角的概念。

一、角的度量

角是由两条射线相交形成的，其中一个射线为起始边，另一个射线为终止边。度量一个角的大小需要用到角度的概念，角度是用来表示角大小的标准单位。通常，我们使用度（°）作为角度的单位，也可以使用弧度（rad）、梯度（grad）等单位。不同角度单位的换算关系如下：

1°=π/180 rad；1 rad=180/π°；1°=10/9 grad；1 grad=9/10°

当我们要度量一个角的大小时，需要先确定这个角的起始边和终止边，并规定起始边沿终止边的正方向为顺时针或逆时针方向。接下来，可以采用以下两种方法对角进行度量：

1. 用度数表示

用度数表示一个角的大小是最常见的方法。度数表示一个角的大小是指这个角的度数大小。以顺时针方向表示的角度记作负数，以逆时针方向表示的角度记作正数。例如，上图中角ACB的度数大小为60°。

2. 用弧度表示

弧度表示一个角的大小是指这个角所对应圆弧的弧度长度。对于任意半径为r的圆，一个角的弧度大小等于这个角所对应圆弧的长度除以圆的半径r。通常，我们用符号θ表示角的大小，用弧长L表示它所对应的弧长，用r表示圆的半径，则该角的弧度大小为θ=L/r。例如，上图中角ACB对应圆周长的1/6，且半径为1，则它的弧度大小为π/3 rad。

二、角的计算

角的计算是角的度量中的一个重要内容。在平面几何中，角的计算主要包括角的加减乘除、角度的比较和角的构造等方面。

1. 角的加减乘除

角的加减乘除是指对两个或多个角进行运算得到一个新角的过程。下面分别介绍多个角的加减乘除运算：

(1) 两个角的加减

两个角的加法是指将一个角的终止边作为另一个角的起始边，使两条射线相接成为一个新角。两个角的差是指将两个角的终止边重合，计算起始边之间的夹角得到一个新角。例如，如下图中，角ACB和角CBD的和为角ACD，差为角ACF。

(2) 多个角的加减

多个角的加减与两个角的加减类似，只不过需要按照一定的顺序依次加减，即可得到一个新角。例如，如下图中，角ACB、角CBD和角BDE的和为角ADE。

(3) 角的乘法

角的乘法是指将两个角的大小相乘得到一个新的角度大小。例如，如下图中，角ACB和角CBD的乘积为900。

(4) 角的除法

角的除法是指用一个角的大小除以另一个角的大小得到一个新角的大小。例如，如下图中，角ACB除以角CBD的商为 3。

2. 角度的比较

在角的度量中，我们还需要比较角度大小来解决实际问题。下面介绍比较角度大小的方法：

(1) 通分比较

通分比较是指将两个角的分母约分到相同的数，然后比较它们的分子的大小。例如，如下表格中，角A、角B、角C分别是三角形ABC内的三个角，通过通分比较得到角A < 角B < 角C。

(2) 度数比较

当角的大小用度数表示时，我们可以直接将度数进行比较。例如，如下表格中，直角三角形中，角B < 角A < 90°。

(3) 弧度比较

当角的大小用弧度表示时，我们可以直接比较弧度的大小。例如，如下表格中，二分之一圆的两个角大小分别是π/3和2π/3，且π/3 < 2π/3。

3. 角的构造

角的构造是指通过已知角度大小和已知角度的位置构造新的角。下面介绍两种常见的角的构造方法：

(1) 分角器或暴雷环构造角

分角器是一种用于构造角的常见工具，通常由两根刻度尺组成。我们可以通过分角器上的刻度将起始边和终止边的位置固定，然后旋转终止边以构造所需角的大小。暴雷环是一种手工制作的构造角的器具，通常由木板、铆钉、刻度尺和调节装置等部件组成。利用暴雷环可以构造各种不同大小和不同位置的角。例如，如下图中，利用暴雷环可以构造一个角的大小为120°。

(2) 三角函数构造角

三角函数指的是正弦、余弦、正切等与三角函数有关的数学函数。这些函数可以用来解决与角度大小和位置有关的问题和计算。我们可以利用三角函数值的大小和正负性来构造所需的角度大小和位置。例如，如下图中，已知正弦值为1/2和角在第一象限，可以得出该角的大小为30°。

三、总结

角的度量和计算是平面几何中的基本内容之一。理解和掌握该知识点可以帮助我们解决很多实际问题，如计算角的大小、角的比较和角的构造等。在度量角时，我们可以采用度数、弧度等不同单位来表示角的大小；在计算角时，我们需要掌握角的加减乘除和角度的比较等基本技能；在构造角时，我们可以采用分角器、暴雷环和三角函数等不同工具和方法。