反馈系统的闭环传递函数推导（反馈系统闭环传递函数的推导与分析）

摘要：反馈系统闭环传递函数的推导与分析
反馈系统在现代控制理论中有着重要的地位，其目的是通过测量实际输出并与期望输出进行比较，根据差异来调节输入以使系统输出更精确。闭环传

反馈系统闭环传递函数的推导与分析

反馈系统在现代控制理论中有着重要的地位，其目的是通过测量实际输出并与期望输出进行比较，根据差异来调节输入以使系统输出更精确。闭环传递函数是反馈系统中的核心，可以描述反馈系统的动态响应特性。在本文中，我们将对闭环传递函数进行推导和分析。

第一部分：闭环反馈系统的基本概念和模型

反馈系统分为开环和闭环两种模式。开环系统输出只受到输入影响，没有反馈控制。而闭环系统则引入了反馈控制，系统所输出的反馈信号与期望信号进行比较，以调节输入，达到输出与期望越接近。可以使用下图所示的基本闭环反馈系统模型进行描述。

$\"\"$

其中，$G(s)$ 为系统的开环传递函数，$H(s)$ 为反馈路径的传递函数，$E(s)$ 为输入信号，$R(s)$ 为期望信号，$F(s)$ 为输出信号，以及 $C(s)$ 为控制器的传递函数。系统的闭环传递函数 $T(s)$ 为：

$$ T(s) = \\frac{F(s)}{R(s)} = \\frac{G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)H(s)} $$

其中 $G(s)C(s)$ 表示当前系统的基本开环传递函数。$H(s)$ 描述了反馈控制机构的性能，反映了输入与输出之间的内部耦合。这个传递函数的值对系统的动态响应特性具有极大的影响。

第二部分：反馈系统闭环传递函数的源动和敏感性分析

在控制系统中，源动和敏感性是两个非常重要的概念。源动是指当输入信号发生突然变化时，系统的输出随之发生的变化。敏感性是指当系统内部参数、环境等因素发生变化时，系统输出随之发生的变化。

我们可以通过对闭环传递函数进行源动和敏感性分析来研究反馈系统的性能。源动分析包括阶跃响应、阶跃输入响应和特征根分析等。敏感性分析则包括增益裕度、相位裕度和稳定裕度等。

源动分析

首先，我们来分析反馈系统的阶跃响应，并绘制 bode 图。我们可以对 $T(s)$ 取对数，得到：

$$ \\log T(s) = \\log\\frac{G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)H(s)} $$

对上式求导并消去相位得到：

$$ \\frac{d}{d\\omega}(\\log T(s)) = \\frac{d}{d\\omega}(\\log |T(s)|) $$

阶跃响应的求取则是：首先，将输入信号设置为一个阶跃函数，其拉式变换为 $R(s) = \\frac{1}{s}$。然后将 $R(s)$ 代入 $T(s)$ 中，计算出 $F(s)$。比较 $F(s)$ 的极限值，就能得到时域的阶跃响应。

特征根分析是源动分析中一种重要的方法。我们可以通过分析特征根的位置来确定系统的幅频响应、相频响应、稳定性和阶跃响应等。

敏感性分析

接下来，我们来分析反馈系统的敏感性。增益裕度分析是对增益变化程度的研究，即在增益变化时系统是否能维持稳定，通常用于研究电路的设计及其灵敏性测试。相位裕度则是在相位变化时系统是否能维持稳定。稳定裕度研究的是当系统内部参数不确切时，系统输出是否会产生较大误差。

增益裕度对 $T(s)$ 的影响可以表示为：

$$ k_{p_{max}} = \\frac{1}{|G(j\\omega_m)H(j\\omega_m)|} $$

其中 $\\omega_m$ 是系统的临界频率，也就是系统的开环传递函数 $G(s)$ 的幅频角的交点。相位裕度和稳定裕度则通过不同考虑情况的系统极点与实根位置讨论相应系统性质，进而得到一个限制条件。

第三部分：闭环传递函数的应用

闭环传递函数可以应用于诸多场合。例如，在工业生产中，反馈系统常用于PID控制器，调节生产过程中的温度、压力、浓度等，从而提高产品的生产质量和产量。在经济与金融领域，反馈系统也有着广泛的应用。例如，在股票市场中，可以通过分析股票价格与交易量之间的差异（即反馈信号与期望信号的关系），来进行预测和投资决策。

此外，闭环传递函数还经常用于研究与设计自适应控制器和模糊控制器。其中，自适应控制器能够自动调整参数，提高系统的响应能力和抗干扰能力；而模糊控制器则是一种适用于非线性系统的控制器，能够适应不同工作点的工作状态并做出相应的控制决策。